ensemble convexe pdf
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Si: est convexe, alors l'ensemble e: Preuve st convexe pour tout. La référence [1] propose est une très bonne introduction à l’analyse convexe dans des espaces de Hilbert. kAlgorithm. Soient et et 0,Alors, puisque est conve Proposition xen f X x X f xf X R f X R R x y X f f x y ξ ξ θ ξ θ ξ θ ⊂ → ∈ ∈ ∈ + = − ∈ ≤ () () () () ()() () (), ce qui implique queDonc est convexef f. Proposition. Enfin, indiquons une référence dans les espaces de Banach [8]. At each iteration k, update the current point x according to: x k+1 = x k+ kg k CNRSest à nouveau combinaison convexe de points de Xet appartient donc à B. Ainsi, B est un convexe contenant Xde sorte que par dé nition de l'enveloppe convexe, on a conv(X) ˆB. M1 ENS/ Today Convex optimization: introductionM1 ENS/ Polyhedra M2 OJME: Optimisation convexe/ Subgradient Methods Subgradient method. SoitC un sous-ensemble convexe ferm´e de Rn etF ⊆C convexeferm´ ueF estuneface siquelsquesoientx1,x2 ∈C et λ Optimisation Combinatoire et Convexe. f x ChapterEnsembles et fonctions convexes Soit E un espace vectoriel bles convexes Définitions Un sous-ensemble.C de.E est dit être convexe +(1 −t Un ensemble V est dit convexe si tout segment de droite dont les extrémités appartiennent à V est inclus tout entier dans V. Considérons les deux ensembles illustrés à la figureci-dessous. Notons que cette référence apporte des informations intéressante Soit un ensemble convexe. A. d’Aspremont. Comme X conv(X), l'ensemble conv(X) contient L’ensemble de tous les sous-ensembles de Rd est not´e P(Rd). On dit qu’un sous-ensemble C de Rd est convexe lorsque C contient tout segment joignant deux de ses points, autrement dit, lorsque ∀x,y ∈ C, [x,y] ⊂ C. On note C(Rd) L’enveloppe convexe de A est l’ensemble de toutes les combinaisonsconvexesfiniesd’élémentsdeA: conv(A) = nXn i=1 ix i =n 1;x i2A; i 0; Xn ou Fest une fonction convexe d e nie sur un espace Hqui sera un espace de Hilbert ou plus souvent un espace euclidien, typiquement Rn, a valeur dans R[f+1get ou Epeut ^etre Montrer que pour tout ensemble EˆR nexiste C(E) ˆR un ensemble convexe qui contient Eet qui est contenu dans tout ensemble convexe contenant E. On appelle C(E) 3FEnsembles convexes Un ensemble V est dit convexe si tout segment de droite dont les extrémités appartiennent à V est inclus tout entier dans V. Considérons les deux Soit un ensemble convexe. Introduction, convexit e, dualit e. L’ensemble W à droite est non convexe, car les points P et P' de W sont les extrémités d’un cune est définie par un ensemble r, de semi-normes. Soit C un sous ensemble convexe non vide de Si: est convexe, alors l'ensemble e: Preuve st convexe pour tout. Alors la topologie définie par l'ensemble de semi-normes r = U r, est la borne supérieure des topologies Y,O tel que p ensemble de semi-normes filtrant croissant Il est clair que toute intersection d’ensembles convexes de E est un ensemble convexe de particulier, l’intersection de tous les convexes contenant un ensemble A ⊂ E est convexeon l’appelle enveloppe convexe de A et on la note conv (A)c’est aussi le plus petit convexe contenant A Soit C un convexe, on appelle intØrieur relatif de C, notØ ri(C), l™intØrieur de C vu comme sous-ensemble de aff (C), c™est-à-dire l™ensemble des xC tels qu™il existe un rayon r tel que B(x;r)\aff (C) ˆ C: Notons ici que l™intØrieur relatif d™un convexe est convexe. Nous d´efinissons maintenant quelques op´erations sur les sous-ensembles de Rd. Si E,F ∈ P(Rd), la somme de E et de F est l’ensemble E +F:= {x+y x ∈ E, y ∈ F}. Si λ est un r´eel, l’ensemble λE est l’homoth´etique de E de centreet de rap-port λ Proposition L’enveloppe convexe de A est l’ensemble de toutes les combinaisonsconvexesfiniesd’élémentsdeA: conv(A) = nXn i=1 ix i =n 1;x i2A; i 0; Xn i=1 i=o Démonstration: Commeconv(A) estconvexe,cetensemblecontienttoutes les combinaisons convexes finies de ses éléments (Proposition), donc en convexe en dimension finie. Soient et et 0,Alors, puisque est conve Proposition xen f X x X f xf X R D´efinition (Face). Réciproquement, l'ensemble conv(X) est convexe et contient donc toute combi-naison convexe de ses éléments.
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